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ティティウス・ボーデの法則 (Titius-Bode law)

ティティウス・ボーデの法則とは,太陽から各惑星までの距離を簡単な数列で表すことができるとする法則です.17世紀にケプラーの法則やニュートン力学の成立とともに地動説が受け入れられ,太陽から惑星までの距離も含めた現代的な太陽系像はほぼ確立しました.そのような背景のなかでヨハン・ティティウスは,1764年に出版されたシャルル・ボネの著書『Contemplation de la Nature (自然の思想)』のドイツ語翻訳版を1766年に出版する際に,訳注の形で太陽系の惑星の距離について下記のような思索を記載しました (この著述は他の言語への翻訳版には存在しません).

太陽から土星までの距離を100としてそれを等分すると,太陽から水星までの距離は4,金星は 4+3=7,地球は 4+6=10,火星は 4+12=16 となる.しかし木星は 4+48=52 となる.ここに極めて大きなギャップが存在している.本当に火星と木星の間に惑星は存在しないのか? 否.まだ見つかっていないだけだろう.そして土星は 4+96=100 となる.
数列 x 数列 n 計算値 a 実距離 (au) 該当天体
0 -∞ 0.4 0.39 水星
3 0 0.7 0.72 金星
6 1 1.0 1.00 (定義値) 地球
12 2 1.6 1.52 火星
24 3 2.8 2.77 ケレス (1801年)
48 4 5.2 5.20 木星
96 5 10.0 (定義値) 9.54 土星
192 6 19.6 19.19 天王星 (1781年)
30.06 海王星 (1846年)
384 7 38.8 39.44 冥王星 (1930年)

ところで1715年に出版されたデビッド・グレゴリーの著書『The Elements of Astronomy』には,「太陽から地球までの距離を10等分すると,太陽から水星までの距離は4,金星は7,火星は15,木星は52,土星は95となっている」ことが言及されています.これはあくまで実際の距離の値に基いたものですが,この考え方がティティウス・ボーデの法則の原型になったのかもしれません.

それはともかく,ティティウスの考察を数式で表すと,太陽から各惑星までの距離は極めて単純に,

4 + x
(x = 0, 3, 6, 12, 24, 48, 96)

となります.すなわち3から始まり直前の値の2倍としてゆく数列で近似できてしまうことになります (最初の0のみ例外扱いとします).なおここでの距離は,考察の出発点に照らせば明らかなように,10で割ることで天文単位 au となります.また別の表現方法を用いると,

a = 0.4 + 0.3 * 2n 天文単位
(n = -∞, 0, 1, 2, 3, 4, 5)

とも書けます (やはり最初の -∞ のみ例外扱いとします).後者の数式の方が世間ではよく知られているようです.

ただしこの法則には理論的な裏付けがある訳ではないため,当初はあまり注目されませんでした.たしかにティティウスの言及にある通り,1766年当時は火星と木星の間に x = 24 (n = 3) に該当する天体は見つかっておらず,不自然な抜けがあることになっていました.また考察に利用可能な惑星は,肉眼で見える水星から土星までの5つに地球を含めた6つに限られていました (ちなみに,天動説が信じられていた時代には,地球は惑星とは当然みなされておらず,太陽と月はやはり星座の間を移動することから惑星として扱われていました.これが曜日の元となった7惑星です).

ところが,1781年にウィリアム・ハーシェルによって発見された天王星の距離が x = 96 * 2 = 192 (n = 6) の場合と割と良く合ったため,火星と木星の間にあるかもしれない未知の惑星を積極的に探す機運が高まりました.その結果,1801年に x = 24 (n = 3) に相当する距離に小惑星帯最大の天体である準惑星ケレスが発見され,不自然だった抜けもきっちり埋まったため,この法則の信憑性が一気に増しました.しかしながら,1846年に発見された海王星は次に来るはずの x = 192 * 2 = 384 (n = 7) とは全く合いませんでした.これはむしろ2006年まで第9番目の惑星だった冥王星に近いといえば近い値です.そのため,これはあくまで偶然の産物であり,科学的根拠を伴う法則とはみなされなくなりました.また現在では多数見つかっている太陽系外の惑星系でも成立しません.

なお,この法則は単にボーデの法則と呼ばれることがあります.その理由は1772年にヨハン・ボーデが著書『Anleitung zur Kenntniss des gestirnten Himmels (星空を知るための手引書)』の第2版において,出典を示さずにティティウスの考察をほぼそのまま紹介し,この法則が広く知られるようになったためです (いわゆるスティグラーの法則).ただ,その後の版ではティティウスの名がクレジットされています.


松本 桂 (大阪教育大学 天文学研究室)
e-mail: katsura@cc.osaka-kyoiku.ac.jp